以下是Chrome浏览器同步移动设备下载记录的方法：
1. 登录谷歌账户：打开Chrome浏览器，点击右上角的个人资料图标（可能是头像或字母），选择“登录到Chrome”，输入谷歌账户邮箱和密码，完成登录。若未登录，系统会提示你登录。
2. 进入同步设置页面：点击浏览器右上角的三个点图标，选择“设置”，在左侧菜单中找到“您与Google”部分，点击“同步和Google服务”。
3. 开启同步功能：在同步设置页面中，点击“开启同步功能”按钮。然后找到“历史记录”选项，确保其被选中，这样Chrome浏览器就会开始同步浏览历史数据，包括下载记录。
4. 管理已同步设备：在同步设置页面中，可以查看已登录并同步数据的设备列表。如有需要，可在此页面对不需要同步的设备进行移除操作，以保障账户安全。
通过以上步骤，您可以在Chrome浏览器中轻松开启同步功能，实现跨设备的浏览历史、书签、密码等数据的同步，提高使用便捷性和安全性。